Példa egy matematikai modellre. Meghatározás, besorolás és jellemzők

A figyelemben felkínált cikkben példákat mutatunk be matematikai modellekre. Emellett figyelmet fordítunk a modellek létrehozásának szakaszaira és elemezzük a matematikai modellezéssel kapcsolatos néhány problémát.

Egy másik kérdésünk a matematikai modellek a gazdaságban, példák, amelyeket egy kicsit később megfontolunk. Javasoljuk, hogy beszélgetésünket a "modell" fogalmából kezdjük, röviden áttekintsük az osztályozásukat, és lépjünk át a főbb témáinkra.

A "modell"

Gyakran halljuk a "modell" szót. Mi az? Ez a kifejezés sok meghatározást tartalmaz, itt csak három:

• Olyan konkrét objektum, amelyet az adott objektum eredeti tulajdonságának tükrözésével hoznak létre és tárolnak, ami tükrözi az adott objektum sajátosságait és jellemzőit (ez a konkrét objektum különböző formákban fejezhető ki: mentális, leírás jelekkel stb.);
• Még a modell alatt jelent egy adott helyzet létfontosságú vagy adminisztratív;
• A modell lehet egy objektum redukált példánya (részletesebb tanulmányozáshoz és elemzéshez jön létre, mivel a modell tükrözi a struktúrát és a kapcsolatokat).

Mindazok alapján, amiket korábban említettünk, egy kis következtetést vonhatunk le: a modell lehetővé teszi, hogy részletesen tanulmányozhass egy komplex rendszert vagy objektumot.

Minden modell számos jellemző szerint osztályozható:

• A felhasználás területén (oktatási, kísérleti, tudományos és műszaki, játék, utánzás);
• Dinamika (statikus és dinamikus);
• A tudás ágán (fizikai, kémiai, földrajzi, történelmi, szociológiai, gazdasági, matematikai);
• A bemutatás módja (anyag és információ).

Az információs modellek pedig aláírással és szóval vannak felosztva. És az ikonikusak a számítógép és a nem számítógépek számára. Most forduljunk egy matematikai modell példáihoz.

Matematikai modell

Mivel nem nehéz kitalálni, a matematikai modell egy objektum vagy jelenség néhány sajátosságát tükrözi speciális matematikai szimbólumokkal. A matematika is szükség van arra, hogy a környező világ törvényeit saját nyelvén alakítsák ki.

A matematikai modellezés módszere régen, több ezer évvel ezelőtt született, e tudomány megjelenésével együtt. A modell modellezésének lendületét azonban a számítógépek (elektronikus számítógépek) megjelenése jelentette.

Most folytassuk a besorolást. Néhány okból is elvégezhető. Az alábbi táblázatban láthatók.

A tudományág szerinti osztályozás	Matematikai modellek alkalmazása a fizika, a szociológia, a kémia és így tovább
A modellezési folyamat során használt matematikai berendezés	A differenciálegyenletek, diszkrét algebrai transzformációk és hasonlók alapján alapuló modellek
A modellezés céljaira	Ennek az elvnek megfelelően különbséget kell tenni a leíró, az optimalizáló, a több kritériumok, a játék és a szimulációs modellek között

Javasoljuk, hogy részletesebben leállítsuk és áttekintjük a legújabb osztályozást, mivel tükrözi a modellezés általános mintáit és a létrehozandó modellek célját.

Leíró modellek

Ebben a fejezetben a leíró matematikai modelleknél részletesebben foglalkozunk. Annak érdekében, hogy minden világos legyen, egy példát kapunk.

Először is, ezt a fajot leírónak lehet nevezni. Ez annak köszönhető, hogy egyszerűen elvégezzük a számításokat és előrejelzéseket, de semmilyen módon nem befolyásolhatjuk az esemény kimenetelét.

Egy leíró matematikai modell élénk példája a repülési útvonal, a sebesség, a távolság az üstökös Földjétől, amely behatolta a naprendszerünk kiterjedését. Ez a modell leíró jellegű, hiszen az összes kapott eredmény csak figyelmeztet minket minden veszélyre. Annak érdekében, hogy befolyásoljuk az esemény kimenetelét, sajnos nem tudjuk. Azonban a kapott számítások alapján lehetséges minden olyan intézkedést megtenni, hogy megmentse az életet a Földön.

Optimalizálási modellek

Most egy kicsit beszélünk a gazdasági és matematikai modellekről, amelyek példái különböző helyzeteket szolgálhatnak. Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek bizonyos feltételek mellett segítenek megtalálni a helyes választ. Bizonyos paraméterekkel rendelkeznek. Ahhoz, hogy világossá váljunk, vegyünk egy példát az agrár részből.

Van egy magtárunk, de a gabona nagyon gyorsan elpusztul. Ebben az esetben helyesen kell kiválasztanunk a hőmérsékleti rendszert és optimalizálni kell a tárolási folyamatot.

Így meghatározhatjuk az "optimalizációs modellt". Matematikai értelemben ez egy egyenletrendszer (mind lineáris, mind nem), amelynek megoldása segít abban, hogy egy adott gazdasági helyzetben megtalálja az optimális megoldást. Megvizsgáltuk a matematikai modell (optimalizálás) példáját, de szeretném hozzátenni: ez a típus a szélsőséges problémák osztályához tartozik, segítenek leírni a gazdasági rendszer működését.

Nézzünk még egy árnyalatot: a modellek eltérő karakterűek lehetnek (lásd az alábbi táblázatot).

meghatározó	Ebben az esetben az eredmény a bemeneti adatoktól függ
sztochasztikus	A véletlen folyamatok leírása. Ebben az esetben az eredmény bizonytalan marad

Több kritériumok

Most azt javasoljuk, hogy beszélj egy kicsit a multicitéria optimalizálás matematikai modelljéről. Ezt megelőzően példát adtunk a folyamatoptimalizálás matematikai modelljére bármely kritériummal, de mi van ha sokan vannak?

A multikritérium-feladat élénk példája a megfelelő, hasznos és ugyanakkor gazdaságos táplálkozás megszervezése nagy csoportok számára. Ilyen feladatok gyakran megtalálhatók a hadseregben, iskolai étkezdékben, nyári táborokban, kórházakban és így tovább.

Milyen kritériumokat kap nekünk ebben a feladatban?

1. Az étkezéseknek hasznosnak kell lenniük.
2. Az étkezés költsége minimális.

Amint látja, ezek a célok egyáltalán nem esnek egybe. Tehát a probléma megoldásakor meg kell keresni az optimális megoldást, a két kritérium közötti egyensúlyt.

Játékmodellek

A játékmodellekről szólva meg kell érteni a "játékelmélet" fogalmát. Egyszerűen fogalmazva, ezek a modellek tükrözik a valós konfliktusok matematikai modelljeit. Csak érdemes megérteni, hogy - ellentétben a valódi konfliktusokkal - a játék matematikai modell sajátos szabályokkal rendelkezik.

Most kapnak minimális információt a játékelmélet, amely segít megérteni, mi a játék modell. És így a modellben feltétlenül vannak oldalak (kettő vagy több), amelyeket általában játékosoknak hívnak.

Minden modell bizonyos tulajdonságokkal rendelkezik.

tárgyak	Játékosok száma
stratégia	Lehetséges cselekvési lehetőségek
fizetés	A konfliktus kimenetele (győzelem vagy vesztés).

A játékmodell lehet pár vagy többszörös. Ha két tantárgyunk van, akkor a konfliktus egy pár, ha több - sokszoros. Ön is azonosítani egy antagonisztikus játék, akkor is hívják zéró összegű játék. Ez egy olyan modell, amelyben az egyik résztvevő nyeresége megegyezik a másik veszteségével.

Szimulációs modellek

Ebben a részben a szimulációs matematikai modellekre figyelünk. Példák a feladatokra:

• A mikroorganizmusok számának dinamikája;
• A molekulák mozgásának modellje, és így tovább.

Ebben az esetben olyan modellekről beszélünk, amelyek a lehető legegyszerűbbek a valódi folyamatokhoz. Általában a természetben megnyilvánuló megnyilvánulások utánoznak. Például az első esetben szimulálni lehet a hangyák számának dinamikáját egy telepen. Ebben az esetben megfigyelhetjük az egyes egyének sorsait. Ebben az esetben ritkán használják a matematikai leírást, gyakrabban vannak írott feltételek:

• Öt nap alatt a nőstény tojást rak;
• Húsz napon belül a hangya meghal, és így tovább.

Így a szimulációs modelleket egy nagy rendszer leírására használják. A matematikai következtetés a kapott statisztikai adatok feldolgozása.

követelmények

Nagyon fontos tudni, hogy bizonyos követelményeket írnak elő az ilyen típusú modellekre, amelyek közül az alábbiakban felsoroljuk azokat.

sokoldalúság	Ez a tulajdonság lehetővé teszi ugyanazt a modellt ugyanazon típusú objektumcsoportok leírásakor. Fontos megjegyezni, hogy az univerzális matematikai modellek teljesen függetlenek a vizsgált tárgy fizikai jellegétől
megfelelés	Fontos megérteni, hogy ez a tulajdonság lehetővé teszi a valódi folyamatok helyes reprodukálását. A kizsákmányolás feladataiban a matematikai modellezés e tulajdonsága nagyon fontos. A modell példája lehet a gázrendszer használatának optimalizálási folyamata. Ebben az esetben a számított és aktuális mutatókat összehasonlítjuk, ennek eredményeképpen a modell helyességét ellenőrizzük
pontosság	Ez a követelmény magában foglalja az általunk kapott értékek egybeesését a matematikai modell és a valós objektum bemeneti paraméterei kiszámításakor
gazdaság	A matematikai modellre kivetett jövedelmezőségi követelményt a végrehajtás költségei jellemzik. Ha a modelltel végzett munkát manuálisan végezzük, akkor a matematikai modell segítségével számolni kell, mennyi időt vesz igénybe egy probléma megoldása. Ha számítógéppel támogatott tervezésről beszélünk, akkor kiszámítjuk az időt és a számítógép memóriáját

A modellezés lépései

Összesen a matematikai modellezésben szokásos négy szakaszt megkülönböztetni.

1. A modell részeit összekapcsoló törvények megfogalmazása.
2. Matematikai problémák vizsgálata.
3. A gyakorlati és elméleti eredmények egybeesésének tisztázása.
4. A modell elemzése és korszerűsítése.

Gazdasági-matematikai modell

Ebben a részben röviden tárgyaljuk a gazdasági és matematikai modellek kérdését. Példák a feladatokra:

• Hústermékek előállítására szolgáló termelési program létrehozása, amely biztosítja a termelés maximális nyereségét;
• A szervezet nyereségének maximalizálása a bútorgyárban lévő kimeneti asztalok és székek optimális számának kiszámításával stb.

A gazdasági-matematikai modell a gazdasági absztrakciót tükrözi, amelyet matematikai kifejezések és jelek segítségével fejeznek ki.

Számítógépes matematikai modell

Példák számítógépes matematikai modellre:

• A hidraulika feladatai a blokkdiagramok, diagramok, táblázatok stb. Segítségével;
• A szilárd anyagok mechanikájával kapcsolatos problémák, és így tovább.

A számítógépes modell egy objektum vagy rendszer képét ábrázolja, amelyet:

• táblázat;
• folyamatábra;
• diagramok;
• Grafika, és így tovább.

Ez a modell ugyanakkor tükrözi a rendszer szerkezetét és összefüggéseit.

A gazdasági-matematikai modell megalkotása

Már említettük, hogy mi a gazdasági-matematikai modell. A probléma megoldásának egyik példája a jelenlegi helyzet. Elemezzük a termelési programot, hogy azonosítsuk a megnövekedett nyereség tartalékát a tartományban bekövetkező változások között.

Nem fogjuk teljesen megfontolni a problémát, csak gazdasági-matematikai modellt építünk ki. Feladatunk kritériuma a profit maximalizálása. Ezután a függvénynek a következő alakja van: A = p1 * x1 + p2 * x2 ..., maximálisan hajlamos. Ebben a modellben p a egységenkénti nyereség, x az előállított egységek száma. Továbbá az elkészített modell alapján számításokat kell készíteni és összefoglalni.

Példa egy egyszerű matematikai modell létrehozására

A feladat. A halász visszatért a következő fogással:

• 8 hal - az északi tenger lakói;
• A fogások 20% -a - a déli tengerek lakói;
• A helyi folyóból egyetlen halat sem találtak.

Hány halat vásárolt a boltban?

Így egy adott probléma matematikai modelljének megalkotására vonatkozó példa a következő. Jelölje meg az összes x halat. A feltételt követően 0,2x a déli szélességi területeken élő halak száma. Most kombináljuk az összes rendelkezésre álló információt és megkapjuk a probléma matematikai modelljét: x = 0.2x + 8. Oldja meg az egyenletet és válaszoljon a fő kérdésre: 10 halat vásárolt a boltban.