Rendszeres poliéderek: elemek szimmetria és nagysága

Geometry szép, mert ellentétben algebra, ami nem mindig világos, hogy miért, és mit gondol, ad egy vizuális objektumot. Ez a csodálatos világ különböző szervek díszítik a rendszeres poliéder.

Általános információk a rendszeres polyhedra

Sokak szerint szabályos testek, vagy ahogy ők nevezik platóni testek, sajátságos tulajdonságaik. Ezekkel kapcsolatos tárgyak számos tudományos hipotézisek. Amikor elkezdi tanulmányozni a geometriai adatok a test, rájössz, hogy szinte semmit nem tudok egy ilyen koncepció, mint a rendszeres poliéder. Az előadás ezeket a tárgyakat az iskolában nem mindig érdekes, hogy sok nem is emlékszem, mit nevezett. Emlékére a legtöbb ember számára ez csak egy kocka. Egyik szervezet geometria nem rendelkezik ilyen tökéletességre szabályos testek. Minden nevét E geometriai testek származott az ókori Görögországban. Ők képviselik az arcok száma: tetraéder - négyoldalú, kocka - Allen, oktaéder - nyolcszög, dodekaéder - dodekaéder, ikozaéder - ikozaéder. Mindezek a geometriai test fontos helyet foglal el Platón felfogása az univerzum. Négyen vannak kialakítva elemek vagy szervezetek: a tetraéder - a tűz, a ikozaéder - víz kocka - föld, oktaéder - levegőt. Dodekaéder megtestesített mindent. Úgy tartották, a fő, mint egy szimbólum az univerzumban.

A általánosítása a koncepció egy poliéder

Poliéder egy véges sokszögek, hogy:

• mindegyik oldalán bármely sokszögek egyidejűleg csak az egyik oldala a másik sokszög ugyanazon az oldalon;
• mind a poligonok sétálhat a másik átadásával azzal szomszédos poligonok.

A sokszögek alkotó poliéder képviselje arcok és a mellékhatások - bordák. poliéder csúcsai a csúcsai sokszög. Ha a kifejezés poligon megérteni lakás zárt vonalláncok, majd jön egy meghatározást a poliéder. Abban az esetben, ha ez a kifejezés azt jelenti, egy része a sík határolja szaggatott vonalakkal, érthető lesz, felszíni álló sokszögű darab. Konvex poliéder az úgynevezett fekvő test egyik oldalán a gép, amely annak arcokat.

Egy másik meghatározás egy poliéder és annak elemei

Polyhedron úgynevezett felszíni álló poligonok, amely korlátozza a geometriai test. Ezek a következők:

• nem-konvex;
• konvex (jó és rossz).

Rendszeres poliéder - konvex poliéder maximális szimmetria. Elemei szabályos poliéderek:

• Tetrahedron: 6 bordák 4 arcok 5 csúcsok;
• kocka (kocka) 12, 6, 8;
• dodekaéder 30, 12, 20;
• oktaéder 12, 8, 6;
• ikozaéder 30, 20, 12.

Euler-tétel

Megállapítja közötti kapcsolat az élek száma, csúcsok és arcok topológiai gömbbel ekvivalens. Hozzáadása a csúcsok száma és arcok (B + D) különböző szabályos poliéder, és összehasonlítjuk őket a bordák száma, akkor be lehet állítani egy szabály: az összeg arcok száma egyenlő a csúcsok száma és élek (P) nőtt 2. Lehetőség van, hogy ebből egy egyszerű képlet:

• B + D = P + 2.

Ez a képlet érvényes minden konvex poliéderek.

alapvető meghatározások

A koncepció egy szabályos poliéder lehetetlen leírni egy mondatban. Ez több, értékes és a hangerő. A testület elismert mint ilyen, meg kell, hogy megfelel egy sor meghatározást. Így a geometriai test lesz a rendszeres poliéder, amikor ezek a feltételek teljesülnek:

• ez domború;
• az azonos számú bordák konvergál minden csúcsához;
• minden részletét az ő - szabályos sokszögek, egyenlő egymással;
• Minden diéderes szög egyenlő.

Tulajdonságok rendszeres poliéderek

Jelenleg 5 különböző típusú szabályos poliéderek:

1. Cube (hexaéder) - van egy sík csúcsszöge 90 °. Ez egy 3-oldalú szög. Összeg arc szögek csúcsánál a 270 °.
2. Tetrahedron - lapos csúcsszöge - 60 °. Ez egy 3-oldalú szög. Összeg arc szögek csúcsánál - 180 °.
3. Oktaéder - sík csúcsszöge - 60 °. Ez egy négyoldalú szöget. Összeg arc szögek csúcsánál - 240 °.
4. Dodekaéder - egy lapos csúcsszög 108 °. Ez egy 3-oldalú szög. Összeg arc szögek csúcsánál - 324 °.
5. Ikozaéder - van egy sík csúcsszöge - 60 °. Ez egy öt oldalas szöget. Összeg arc szögek csúcsánál a 300 °.

A terület rendszeres poliéderek

A felület a geometriai testek (S) a következőképpen számítjuk szabályos sokszög terület számának szorzatával metszettel (G):

• S = (a: 2) x 2G CTG π / p.

A kötet a rendszeres poliéder

Ezt az értéket a szorzata a kötet egy szabályos piramis, amelynek alapja egy szabályos sokszög, az arcok száma, és a magassága a beírt gömb sugarának (R):

• V = 1: 3RS.

Térfogatú szabályos poliéderek

Mint minden más mértani test, a rendszeres poliéderek különböző mennyiségben. Az alábbiakban olyan formulák, amelyekkel képesek kiszámítani:

• Tetrahedron: α x 3√2: 12;
• oktaéder: α x 3√2: 3;
• ikozaéder; α x 3;
• kocka (kocka): α x 5 x 3 x (3 + √5): 12;
• dodekaéder: α x 3 (15 + 7√5): 4.

Elemei szabályos poliéderek

Kocka és az oktaéder kettős mértani testek. Más szóval, lehet, hogy ki egymást abban az esetben, súlypontja egy vesszük a tetejére a másik, és fordítva. Szintén kettős ikozaéder és a dodekaéder. Magát csak tetraéder kettős. Az eljárás szerint Eukleidész lehet beszerezni egy dodekaéder kocka megépítésével „tető” az arcán a kocka. A csúcsai a tetraéder bármely 4 csúcsa a kocka, nem szomszédos pár széle mentén. Tól kocka (kocka) lehet beszerezni, és egyéb rendszeres poliéder. Annak ellenére, hogy szabályos sokszögek vannak számtalan, szabályos poliéder, hogy csak 5.

A sugarak szabályos sokszögek

Minden fent leírt geometriai testek csatlakoztatott koncentrikus gömbök 3:

• leírt áthaladó csúcsok;
• feliratos kapcsolatos minden egyes arcokat a közepén;
• medián vonatkozó összes szélét a közepén.

A gömb sugara által leírt az alábbi képlet alapján számítják ki:

• R = A: 2 x tg π / g x TG θ: 2.

A sugár a beírt gömb a következőképpen számítjuk ki:

• R = A: 2 x CTG π / p x TG θ: 2,

ahol θ - diéderes szög ami a szomszédos oldalait.

A medián a gömb sugara lehet kiszámítani a következő képlet segítségével:

• ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

ahol h = a nagysága 4,6, 6,10, vagy 10. Az arány az sugarak a beírt leírt és szimmetrikusan p és q. Ez a következőképpen számítjuk ki:

• R / R = tg π / p x TG π / q.

A szimmetria poliéderek

A szimmetria a rendszeres poliéderek elsőrendű érdeke, hogy ezek a geometriai testek. Ez úgy értendő, mint egy mozgás a test a térben, amely elhagyja az azonos csúcsok száma, arcok és élek. Más szóval, a hatása alatt szimmetria transzformációk él, csúcspont, vagy az arc megtartja az eredeti helyére, vagy mozog az alapállásba másik borda, a másik csúcsa vagy arcokat.

Elements szimmetria rendszeres poliéderek közösek minden típusú geometriai szilárd. Itt zajlik a személyi átalakulás, amely elhagyja bármely pontján az eredeti helyére. Tehát, ha bekapcsolja a sokszögű hasáb lehet kapni néhány szimmetriák. Ezek közül bármelyik is képviselteti magát a terméket a mérlegelés. Szimmetria, amely a termék páros számú reflexiók, az úgynevezett direkt. Ha ez a termék a páratlan számú gondolatok, akkor az úgynevezett visszajelzést. Így az összes körül forog a vonal képviseli egyenes szimmetria. Bármilyen reflexió poliéder - az inverz szimmetria.

Hogy jobban megértsük a szimmetria elemei a rendszeres poliéder, akkor vegyünk egy példát a tetraéder. Bármely sor, hogy áthaladnak az egyik csúcsot és a központ a geometriai forma, kerül sor, és a közepén keresztül a szélén vele szemben. Mind a fordulat 120 és 240 ° körüli a vonal tartozik a többes tetraéderes szimmetria. Mivel 4 csúcsa és az arcok, akkor kap egy összesen nyolc közvetlen szimmetriák. Minden a sorok közepén áthaladó az élek és a központ a test, akkor átmegy a közepén a szemközti élen. Minden elfordulását 180 °, az úgynevezett fél fordulattal körül egy egyenes szimmetria. Mivel a tetraéder három pár borda, akkor kap három sornyi szimmetria. A fentiek alapján arra lehet következtetni, hogy az összes közvetlen szimmetria, beleértve a személyazonosság átalakulás, akkor akár tizenkét. Egyéb közvetlen szimmetria tetraéder nem létezik, de van 12 inverz szimmetria. Következésképpen, csak a 24 jellemezve tetraédert szimmetria. Az érthetőség kedvéért tudunk építeni egy modell egy szabályos tetraéder kartonból és győződjön meg róla, a mértani test tényleg csak 24 szimmetria.

Dodekaéder és ikozaéder - legközelebb a testfelület. Ikozaéder a legnagyobb arcok számát, a torziós szög és legfőképpen is szorosan ragaszkodnak a beírt gömb. Dodekaéder a legalacsonyabb szögletes defektus legnagyobb szilárd szög a vertex. Meg lehet maximalizálni, hogy töltse ki a körülírt gömb.

szkennelés polyhedra

Rendszeres polyhedra scan, amelyet mindannyian összeragadt gyermekkorban, van egy csomó fogalmak. Ha van egy a poligonok, amelynek minden oldala azonosítják csak az egyik oldala a poliéder, a felek azonosító adatait meg kell felelniük két feltétele van:

• mindegyik sokszög, akkor megy egy sokszög az azonosító az oldalon;
• azonosítható oldalán kell azonos hosszúságú.

Ez egy sor sokszögek, amelyek megfelelnek ezeknek a feltételeknek, és az úgynevezett poliéder scan. Mindegyik szervek számos közülük. Például egy kocka, amelynek van 11 darab.