Folyamatos működés

A folytonos függvény egy "ugrás" nélküli függvény, vagyis egy olyan feltétel, amellyel a feltétel teljesül: az argumentum kisebb változásait a függvény megfelelő értékeinek kis változása követi. Az ilyen funkció grafikája sima vagy folyamatos görbe.

A folytonosság egy olyan ponton, amely egy adott készlet határértéke, meghatározható egy határfogalom alkalmazásával, nevezetesen: egy függvénynek ebben a pontban van egy korlátja, ami megegyezik a határértéken lévő értékével.

Ha ezek a feltételek egy bizonyos ponton megsértődnek, akkor azt mondják, hogy egy adott ponton a funkció megszakad, vagyis folyamatosságát megszegik. A korlátok nyelvén a megszakítás pontját egy függvény nem függvényében egy függvény határértékével (ha létezik) egy függvény nem egybeesik.

A megszakítási pont kiküszöbölhető, ezért szükség van egy függvény határértékére, de nem egyezik meg egy adott pont értékével. Ebben az esetben "korrigálható" ebben a pontban, vagyis kiterjeszthető a folytonosságra.
Egy teljesen eltérő kép alakul ki, ha a függvény egy adott ponton nem létezik. A törési pontok két lehetséges változata létezik:

• Az első fajta - mindkét egyoldalú korlát létezik, és véges, és egyikük vagy mindkettő értéke nem egyezik meg a funkció értékével egy adott ponton;
• A második fajta, amikor az egyoldalú határok egyike vagy mindkettő nem létezik, vagy értékük végtelen.

A folyamatos funkciók tulajdonságai

• Az aritmetikai műveletek eredményeként kapott funkció, valamint a folyamatos funkciók szuperpozíciója a meghatározási területükön, szintén folyamatos.
• Ha folyamatos működést adunk, ami egy bizonyos időpontban pozitív, akkor mindig elegendően kis szomszédsága található, amelyen megtartja a jelét.
• Hasonlóképpen, ha az A és B pontokban megadott értékek egyenlők, a és b, b-től eltérő, akkor közbülső pontok esetén az összes értéket az (a; b) intervallumtól veszi. Innen vonzódhatunk egy érdekes következtetéshez: ha nyújtunk egy nyújtott gumiszalagot, hogy zsugorodjunk úgy, hogy ne essen (egyenesen maradjon), akkor az egyik pontja állandó marad. És geometrikusan ez azt jelenti, hogy egyenes vonal áthalad az A és B közötti köztes ponton, amely átlépi a függvény grafikáját.

Megjegyezzük, hogy a folytonos (a meghatározásuk területén) elemi funkciók:

• konstans;
• racionális;
• trigonometria.

A matematika két alapvető fogalmának - a folytonosság és a differenciálhatóság - között van egy elválaszthatatlan kapcsolat. Csak arra kell emlékeztetnünk, hogy egy függvény differenciálhatóságához szükséges, hogy ez egy folyamatos funkció legyen.

Ha azonban a függvény egy bizonyos ponton differenciálható, akkor folyamatos. Azonban nem szükséges, hogy a származéka folyamatos legyen.

Egy függvény, amely folyamatos származékot tartalmaz egy bizonyos halmazon, a zökkenőmentes függvények külön osztályához tartozik. Más szóval, ez egy folyamatosan differenciálható funkció. Ha a származéknak korlátozott számú törési pontja van (csak az első fajta), akkor egy hasonló műveletről mondjuk darabonként sima.

A matematikai elemzés másik fontos fogalma egy függvény egységes folytonossága, vagyis annak képessége, hogy a definíciós tartomány bármely pontján ugyanolyan folyamatos legyen. Így ez a tulajdonság a pontok halmazánál van, és senki sem veszi külön.

Ha rögzítjük a pontot, akkor csak a folytonosság definícióját kapjuk, vagyis az egységesség folytonossága azt jelenti, hogy folyamatos funkciónk van. Általánosságban elmondható, hogy a beszélgetés nem igaz. Cantor tétele szerint azonban, ha egy függvény folyamatosan egy kompaktumon, vagyis egy zárt intervallumon, akkor egyenletesen folytatódik rajta.