Mértani és tulajdonságai

Mértani fontos a matematika mint tudomány, és az alkalmazott jelentősége, hiszen ez egy rendkívül széles körét, még a magasabb matematika, például az elmélet sorozat. Az első információkat az elért jött hozzánk az ősi Egyiptomban, különösen a formájában egy jól ismert probléma a Rhind papirusz hét személy hét macskák. Változatok akik ezt a feladatot többször megismétlik különböző időpontokban más nemzetek. Még a Velikiy Leonardo Pizansky, úgynevezett Fibonacci (XIII sz.), Beszélt vele az ő "Book of Abacus."

Ahhoz, hogy a mértani egy ókori történelem. Ez jelenti a számszerű sorrendben egy nem nulla első elem, és minden ezt követő, kezdve a második úgy határozzák meg, az előző kiújulásának képletű állandó, nem nulla szám, hogy az úgynevezett nevező progresszió (ez általában kijelölt segítségével a levél q).
Nyilvánvaló, hogy megtalálható elosztjuk minden ezt követő távon a szekvencia az előző, vagyis a z 2: Z 1 = ... = Zn: Z n-1 = .... Következésképpen, a legtöbb munkát progresszió (Zn) elegendő, hogy tudja, hogy a értéke az első kifejezés a nevező és y 1 q.

Tegyük fel például, Z 1 = 7, q = - 4 (q <0), akkor a következő geometriai sorozatot kapunk 7 - 28, 112-448, .... Mint látható, a kapott szekvencia nem monoton.

Emlékezzünk, hogy tetszőleges sorrendben a monoton (növekvő / csökkenő), amikor annak egyik tag követni több / kevesebb, mint az előző. Például, a szekvencia 2, 5, 9, ..., és -10, -100, -1000, ... - monoton, a második - csökkenő mértani.

Abban az esetben, ha q = 1, az összes tagok találtuk, és ez az úgynevezett állandó progresszió.

A szekvencia a progresszió az ilyen típusú, meg kell felelniük a következő szükséges és elégséges feltétele, nevezetesen: kezdve a második, egyes tagok legyen a geometriai átlag a szomszédos tagok.

Ez a tulajdonság lehetővé teszi, hogy bizonyos két szomszédos megállapítás tetszőleges távú progresszióját.

n-edik ciklus exponenciálisan könnyen talált képlet: Zn = Z 1 * Q ^ (n-1), Z tudva első tag az 1. és a nevező q.

Mivel a számsor egy összeget, majd néhány egyszerű számításokat ad nekünk egy képletet az összeg az első progresszió tagok, nevezetesen:

S n = - (Zn * q - Z 1) / (1 - q).

Cseréje, a képlet az expressziós értéke Zn z 1 * Q ^ (n-1), így kapjuk a második összeget formula a progresszió: S n = - Z1 * (q ^ n - 1) / (1 - q).

Figyelemre méltó a következő érdekes tény: az agyagtábla találtak ásatások az ókori Babilon, amely utal a VI. BC, amely méltó módon összege 1 + 2 + ... + 22 + 29 egyenlő 2 tizedik teljesítmény mínusz 1. A jelenség magyarázata az még nem találtak.

Megjegyezzük egyik tulajdonságainak mértani - állandó tagjai munkájának, egymástól egyenlő távolságra a végén a szekvencia.

Különösen fontos, egy tudományos szempontból, olyan dolog, mint egy végtelen mértani összegének számítási. Feltételezve, hogy a (in) - egy mértani rendelkező nevező q, az említett feltételeket kielégítő | q | <1, annak összege lesz említett határ, amely felé már tudjuk az összege az első tag, határtalan növekedés n, majd rajta végtelenhez közelít.

Az összeg eredményeként a következő képlet segítségével:

S n = y 1 / (1- q).

És a tapasztalat is mutatja, hogy a látszólagos egyszerűsége ez progresszió el van rejtve egy hatalmas alkalmazási lehetőségeik. Például, ha össze egy sorozata négyzetek szerint a következő algoritmust, amely összeköti a felezőpontja az előző, majd alkotnak egy négyzet végtelen mértani amelynek nevező 1/2. Ugyanez a progresszió formáját és területe háromszögek, kapott minden egyes szakaszában az építés, és annak összege egyenlő a területet az eredeti négyzet.