Az elmélet a valószínűség. Valószínűsége egy esemény, alkalmi rendezvény (valószínűségszámítás). Független és összeegyeztethetetlen fejlesztések az elmélet a valószínűség

Nem valószínű, hogy sokan azt hiszik, meg lehet számolni események, amelyek bizonyos mértékben véletlen. Ahhoz, hogy ez egyszerű szavakkal, ez reális, hogy tudja, melyik oldalon a kocka a kocka esik legközelebb. Ez volt az a kérdés, hogy a két nagy tudós, alapkövét ez a tudomány, az elmélet a valószínűség, a valószínűsége az esemény, amelyen alaposan tanulmányozták elég.

generáció

Ha megpróbálja meghatározni egy ilyen koncepció, mint az elmélet a valószínűség, megkapjuk a következő: ez az egyik ága a matematika, hogy a tanulmányok állandóságát véletlen események. Nyilvánvaló, hogy ez a koncepció valóban nem derül ki a lényeg, ezért meg kell vizsgálni, hogy részletesebben.

Szeretnék kezdeni az alapítók az elmélet. Mint már említettük, volt két, hogy Per Ferma és Blez Paskal. Ők voltak az első kísérletet a képletek és matematikai számításokat kiszámításához egy esemény kimenetelének. Általában az alapjait ez a tudomány még a középkorban. Míg a különböző gondolkodók és tudósok megpróbálták, hogy elemezze a kaszinó játékok, mint a rulett, craps, és így tovább, és így létrehozni egy minta, és a százalékos veszteség egy számot. Az alapítvány is fektették a tizenhetedik században a fent említett tudósok.

Kezdetben munkájukat nem tulajdonítható a nagy eredményeket ért el ezen a téren, mert az összes, hogy ezt megtette egyszerűen tapasztalati tények és a kísérletek egyértelműen használata nélkül képleteket. Idővel kiderült, hogy kiváló eredményeket, ami megjelent eredményeként megfigyelési öntött a csontokat. Ez az eszköz segített abban, hogy az első különálló képlet.

támogatók

Nem is beszélve egy ilyen ember, mint Christiaan Huygens, a folyamat a téma tanulmányozásában, amely magán viseli a nevét „valószínűségszámítás” (esemény valószínűsége kiemeli, hogy ebben a tudomány). Ez a személy nagyon érdekes. Ő, valamint a tudósok fentiekben bemutatott kipróbált formájában matematikai képletek levezetni a minta véletlen események. Érdemes megjegyezni, hogy nem osztja meg Pascal és Fermat, ez minden munkája nem átfedésben vannak fejében. Huygens származik az alapfogalmak a valószínűségszámítás.

Érdekes tény, hogy a munka jött sokáig az eredményeket a munkálatok az úttörők, hogy pontosak legyünk, húsz évvel korábban. Már csak körében fogalmak azonosított:

• mint a koncepció valószínűségi értékek véletlen;
• elvárás a diszkrét esetre;
• tételei összeadás és szorzás a valószínűségek.

Továbbá, nem lehet elfelejteni Yakoba Bernulli, aki hozzájárult ahhoz, hogy a tanulmány a problémát. A saját, egyikük sem független tesztek, képes volt igazolni a nagy számok törvénye. Az viszont, tudósok Poisson és Laplace, aki dolgozott a tizenkilencedik század elején tudták bizonyítani, az eredeti tétel. Ettől a pillanattól kezdve, hogy elemezze a hibákat a megfigyelések elkezdtük használni valószínűségszámítás. Fél körül ez a tudomány nem tudta és orosz tudósok, hanem Markov, Csebisev és Dyapunov. Ezek alapján a munkát nagy zsenik, biztosított az alany egy ága a matematika. Dolgoztunk ezek a számok végén a tizenkilencedik század, és hála a hozzájárulásuk bebizonyosodott jelenség, mint

• A nagy számok törvénye;
• Elmélete Markov-láncok;
• A központi határeloszlás tétel.

Tehát, a történelem, a születés a tudomány és a nagy személyiségek, hogy hozzájárult, minden többé-kevésbé világos. Most itt az ideje, hogy tartalommal töltse ki az összes tényeket.

alapfogalmak

Mielőtt megérinti a törvényi és tételek kell tanulni az alapvető fogalmak valószínűségszámítás. Esemény foglal domináns szerepet. Ez a téma eléggé kiterjedt, de nem lesz képes megérteni a többi nélkül.

Event valószínűségszámítás - ez Bármely sor eredményeinek a kísérletet. Fogalmak ez a jelenség nem elég. Így Lotman tudós dolgozik ezen a területen, s jelezte, hogy ebben az esetben beszélünk, amit „történt, bár ez nem fog megtörténni.”

Véletlen események (valószínűségszámítás különös figyelmet szentel nekik) - egy olyan fogalom, amely magában foglalja a teljesen olyan jelenség, amely a lehetőségét is előfordulnak. Vagy éppen ellenkezőleg, ez a forgatókönyv nem történhet a teljesítménye a különböző körülmények között. Azt is érdemes tudni, hogy elfoglalja a teljes térfogata jelenségek csak a véletlen eseményeket. Valószínűségszámítás azt sugallja, hogy minden körülmények között meg lehet ismételni folyamatosan. Ez a magatartás már az úgynevezett „élmény” vagy „teszt”.

Jelentős esemény - ez olyan jelenség, amely száz százalékban ebben a tesztben történni. Ennek megfelelően a lehetetlen esemény - ez valami, ami nem történik meg.

Kombinálása pár Action (szokásosan az esetben az A és B eset) egy olyan jelenség, amely akkor fordul elő egyidejűleg. Ezeket nevezik AB.

Az összeg a pár A és B események - C, más szóval, ha legalább az egyik közülük (A vagy B), akkor kap egy C. A képlet leírt jelenség van írva, mint a C = A + B

Összeférhetetlen fejlemények az elmélet a valószínűség azt jelenti, hogy a két eset kölcsönösen kizárja egymást. Ugyanakkor azok semmilyen esetben nem fordulhat elő. Közös események valószínűségszámítás - ez az ellentétével. A következmény az, hogy ha egy megtörtént, az nem zárja ki C.

Ellentétes az esemény (valószínűségszámítás tartja őket nagy részletességgel), könnyen érthető. A legjobb, ha foglalkoznak velük szemben. Ők szinte ugyanaz, mint összeférhetetlen fejlemények az elmélet a valószínűség. Azonban a különbség az, hogy az egyik több jelenség minden esetben meg kell történnie.

Egyformán valószínű események - akciók, a lehetőséget az ismétlés egyenlő. Annak érdekében, hogy tiszta, el lehet képzelni, dobált egy érmét: veszteség egyik oldala egyformán valószínű veszteség más.

könnyebb gondoljunk előnyben az eseményt. Tegyük fel, hogy van egy epizód az epizód A. Az első - egy tekercs a hal az Advent a páratlan szám, és a második - a megjelenése az ötös szám a kocka. Aztán kiderül, hogy A kedvelt V.

Független események a valószínűségszámítás várhatóan csak két vagy több alkalommal, és magában foglalja független minden műveletet a másik. Például, az A - a veszteséges farok érme feldobás, és B - dostavanie Jack a pakliból. Ezek a független események valószínűségszámítás. Ettől a pillanattól kezdve világossá vált.

Függő események valószínűségszámítás is megengedett csak a készlet. Úgy jelent függőséget az egyik, a másik, hogy van, a jelenség akkor fordulhat elő, csak abban az esetben, ha egy már bekövetkezett, vagy éppen ellenkezőleg, nem fordulhat elő, ha ez - a legfontosabb feltétele a B.

Az eredmény a véletlen kísérlet, amely egyetlen komponens - ez elemi események. Valószínűségszámítás azt mondja, hogy ez egy jelenség, amely csak egyszer.

alapképlete

Így a fenti tartották a „esemény”, „valószínűségszámítás”, definíciók legfontosabb szakkifejezések ez a tudomány is kapott. Most itt az ideje, hogy megismerje a legfontosabb képleteket. Ezeket a kifejezéseket matematikailag megerősítette az összes főbb fogalmak olyan bonyolult témáról, az elmélet a valószínűség. Valószínűsége egy eseményt, és nagy szerepet játszik.

Jobb kezdeni az alapvető képletek a kombinatorika. És mielőtt elkezdené őket, akkor érdemes megfontolni, mi az.

Kombinatorika - elsősorban ága a matematika, ő már tanult rengeteg egész számok, és különböző variánsai mind a számokat és azok elemei, a különböző adatok, stb, ami a kombinációk száma ... Amellett, hogy az elmélet a valószínűség, ez az iparág számára fontos a statisztika, számítástechnika és kriptográfia.

Tehát most akkor lépni a bemutatását saját maguk és meghatározás képleteket.

Az első ezek közül a kifejezés a Rubik kocka, akkor az alábbiak szerint:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

Egyenlet csak abban az esetben, ha az elemek egymástól csak a sorrendben elrendezés.

Most elhelyezés formula, úgy néz ki ezt kell figyelembe venni:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (N - m)!

Ez a kifejezés vonatkozik nemcsak az egyetlen eleme a megrendelés, hanem annak összetétele.

A harmadik egyenlet kombinatorika, és ez az utóbbi, úgynevezett képlet a kombinációk száma:

C_n ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Kombinált úgynevezett mintavételi, amelyek nem rendelhető, illetve és alkalmazott ezt a szabályt.

Képletekkel kombinatorika jött könnyen megértik, akkor most megy a fogalom klasszikus valószínűség. Úgy tűnik, ezt a kifejezést az alábbiak szerint:

P (A) = m: n.

Ebben a képletben m - az a szám vezető feltételek az esemény A és n - száma egyenlő, és teljesen az összes elemi esemény.

Sok kifejezést a cikk nem tekinthető semmit, de hatással lesz a legfontosabbak, mint például a valószínűsége az események összege:

P (A + B) = P (A) + P (B) - ez a tétel hozzáadását csak egymást kölcsönösen kizáró események;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) -, de ez csak a hozzá kompatibilis.

Az esemény valószínűsége művek:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) - ennek a tételnek a független események;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A); P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) -, és ezt a függő.

Befejeződött események listáját formula. A valószínűség elmélete azt mondja tétel Bayes, ami így néz ki:

A P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ N P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

Ebben a képletben, H _1, H _2, ..., H _n - egy komplett hipotézisek.

Ennél a megálló, mintákat képletek alkalmazását meg kell vizsgálni az egyes feladatok gyakorlatban.

példák

Ha alaposan tanulmányozza minden ága a matematika, nem nélkülözi a gyakorlatok és a minta megoldásokat. És az elmélet a valószínűség: események, példák itt is szerves eleme megerősítő tudományos számításokat.

A képlet száma permutációk

Például, egy pakli kártya harminc kártyák, kezdve a nominális. Következő kérdés. Hányféleképpen hogy hajtsa a fedélzet fölött, hogy a kártyák névértékű egy és két nem mellett található?

A feladat beállítva, most menjünk tovább foglalkozni vele. Először meg kell határoznunk a Rubik kocka harminc elemek, erre a célra vesszük a fenti képlet, kiderül P_30 = 30!.

E szabály alapján tudjuk, hogy hány lehetőség van, hogy meghatározza a fedélzeten sok, de le kell vonni azokat, amelyekben az első és a második kártya lesz a következő. Ehhez kezdeni egy változata, amikor az első található a második. Kiderült, hogy az első térkép vehet Huszonkilenc helyen - az első a huszonkilencedik, és a második kártya a második a harminc fordul huszonkilenc ülések pár kártyát. Másfelől, a többiek is igénybe vehet huszonnyolc ülések, és bármilyen sorrendben. Azaz, az átrendeződés a huszonnyolc kártyák Huszonnyolc lehetőségek P_28 = 28!

Az eredmény az, hogy ha figyelembe vesszük a döntést, amikor az első kártya a második extra lehetőséget, hogy 29 ⋅ 28! = 29!

Ugyanezzel a módszerrel, meg kell kiszámítani a több felesleges lehetőség arra az esetre, ha az első kártya alatt található a második. Szintén nyert 29 ⋅ 28! = 29!

Ebből az következik, hogy az extra opció 2 ⋅ 29!, Miközben a szükséges eszközök összegyűjtése a fedélzeten 30! - 2 ⋅ 29!. Továbbra is csak számítani.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Most arra van szükség, hogy szaporodnak össze az összes szám 1-29, majd a végén az összes szorozva 28. A válasz kapott 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32

Ilyen megoldásokat. A képlet a szálláshelyek száma

Ebben a problémát, akkor kell, hogy megtudja, hogy hány van arra szolgál, hogy a tizenöt kötetek a polcon, de azzal a feltétellel, hogy csak harminc egység.

Ebben a feladatban a döntés egy kicsit könnyebb, mint az előző. A már ismert képlet, meg kell számítani az összes harminc helyszínen tizenöt kötet.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Válasz, illetve egyenlő lesz 202 843 204 931 727 360 000.

Most, hogy a feladat egy kicsit nehezebb. Meg kell tudni, hogy hány olyan módon, hogy gondoskodjon a harminckét könyvet a polcokon, azzal a megkötéssel, hogy csak tizenöt kötetek tartózkodnak ugyanazon a polcon.

A program megkezdése előtt a döntés szeretné tisztázni, hogy néhány, a problémát meg lehet oldani többféleképpen, és ebben a két irányban, de mind egy és ugyanazon képletet kell alkalmazni.

Ebben a feladatban, akkor megteszi a választ az előzőtől, mert ott már számított hányszor akkor töltse ki a polcon tizenöt könyv különböző módon. Kiderült A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16.

A második ezred képlettel számítottuk ki átalakítása, mert kerül tizenöt könyv, míg a fennmaradó tizenöt. Az általunk használt képlet P_15 = 15!.

Kiderült, hogy az összeget A_30 ^ 15 ⋅ P_15 módon, de ezen túlmenően a termék az összes szám 30-16 lenne kell szorozni a termék a szám egy és tizenöt, a végén derül ki a termék összes számot 1-30, hogy a válasz 30!

De ez a probléma megoldható más módon - könnyebb. Ehhez el lehet képzelni, hogy van egy polc harminc könyvet. Mindegyikük kerülnek ezen a síkon, hanem azért, mert a feltétel előírja, hogy volt két polc, egy hosszú mi fűrészelés a felére, két turnusban tizenöt. Ebből kiderül, hogy ezt a megoldást lehet P_30 = 30!.

Ilyen megoldásokat. A képlet a kombinációk száma az

Aki úgy egy változata a harmadik probléma a kombinatorika. Meg kell tudni, hogy milyen sokféleképpen van, hogy gondoskodjon tizenöt könyv azzal a feltétellel, hogy meg kell választani harminc pontosan ugyanaz.

A döntés, természetesen, alkalmazni a képlet a kombinációk száma. A feltétel, hogy világossá válik, hogy a sorrendben az azonos tizenöt könyv nem fontos. Tehát először meg kell találni azokat a kombinációk száma harminc tizenöt könyv.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Ez minden. Ezzel a formula, a lehető legrövidebb idő alatt megoldani egy ilyen problémát, a válasz, illetve egyenlő 155.117.520.

Ilyen megoldásokat. A klasszikus meghatározás valószínűség

A fenti képlet, lehet találni a választ egy egyszerű feladat. De ez tisztán látni, és kövesse a lépéseket.

A feladat adott, hogy az urnában van tíz teljesen azonos golyókat. Ezek közül négy sárga és kék hat. Vett az urna egy labdát. Meg kell tudni, hogy a valószínűsége dostavaniya kék.

A probléma megoldása érdekében szükséges, hogy kijelölje dostavanie kék labdát esemény A. Ez a tapasztalat lehet tíz eredményeket, ami viszont az elemi és egyformán valószínű. Ugyanakkor, hat a tíz kedvez a rendezvény A. Oldjuk meg a következő képlet szerint:

P (A) = 6: 10 = 0,6

Alkalmazása a képlet, megtanultuk, hogy a lehetőséget dostavaniya kék labda 0.6.

Ilyen megoldásokat. Annak a valószínűsége, események összeg

Ki lesz olyan változat, amely úgy valósíthatjuk meg, a képlet valószínűsége események mennyiségét. Tehát, mivel a feltétellel, hogy két esetben az első egy szürke és öt fehér golyó, míg a második - nyolc szürke és négy fehér golyó. Ennek eredményeként, az első és a második doboz tettek az egyiket. Meg kell, hogy megtudja, mi az esélye, hogy hiányzott a golyók szürke és fehér.

Ahhoz, hogy megoldja ezt a problémát, meg kell azonosítani az eseményt.

• Így egy - van egy gray ball az első box: P (A) = 1/6.
• A '- fehér izzó is vettünk az első dobozt: P (A') = 5/6.
• A - már extrahált gray ball a második vezeték: P (B) = 2/3.
• B '- vett egy gray ball a második fiók: P (B') = 1/3.

A feladat szerint az szükséges, hogy az egyik jelenség történt: AB „vagy” B A képlet kapjuk: P (AB „) = 1/18, P (A'B) = 10/18.

Most a képlet a szorzataként valószínűségi használtuk. Ezután, hogy megtudja a választ, meg kell alkalmazni az egyenlet hozzátéve:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB') + P (A'B) = 11/18.

Így a következő képlet segítségével lehet megoldani az ilyen problémákat.

eredmény

A papír bemutatták a tájékoztatást „valószínűségszámítás” a valószínűsége az események, hogy fontos szerepet játszanak. Természetesen nem mindent figyelembe venni, hanem a szöveg alapján bemutatott, akkor elméletileg ismerkedhet ezen ága a matematika. Tekinthető a tudomány hasznos lehet nem csak a professzionális üzleti, hanem a mindennapi életben. Ön tudja használni, hogy kiszámítja minden lehetőségét egy esemény.

A szöveget is befolyásolja jelentős dátumokat a történelem fejlődésének valószínűségszámítás, mint a tudomány, és a nevét, akiknek a munkái kerültek bele. Így az emberi kíváncsiság vezetett, hogy az emberek megtanulták, hogy számít, még véletlen események. Miután ők csak érdekel ez, de ma már mindenki által ismert. És senki nem tudja megmondani, hogy mi fog történni velünk a jövőben, milyen más ragyogó felfedezések kapcsolatos elmélet szerint véve, lehet kötelezettséget vállalni. De egy dolog biztos - a tanulmány még nem éri meg!